Tabela de Derivadas, Integrais e Trigonométricas

Vamos explorar uma poderosa ferramenta matemática: a tabela de derivadas, integrais e identidades trigonométricas.

Essa Tabela de Derivadas é extremamente útil para estudantes, professores e entusiastas da matemática, pois fornece um conjunto de fórmulas e relações que simplificam os cálculos envolvendo funções derivadas, integrais e trigonométricas.

Tabela de Derivadas

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Tabela de Derivadas, Integrais e Identidades Trigonométricas

Desvendaremos as relações entre funções, suas derivadas e integrais, além de desbravar as identidades trigonométricas fundamentais. Esta tabela será seu guia confiável, simplificando o processo de cálculos e oferecendo resultados valiosos para estudantes.

Tabela de Derivadas

Vamos começar com as derivadas, que descrevem a taxa de variação de uma função em relação a uma variável. Aqui estão algumas das derivadas mais comuns:

# Função Derivada
1 y = u^n y' = n \cdot u^{n-1} \cdot u'
2 y = uv y' = u'v + v'u
3 y = \frac{u}{v} y' = \frac{u'v - v'u}{v^2}
4 y = a^u y' = a^u \cdot (\ln a) \cdot u'
5 y = e^u y' = e^u \cdot u'
6 y = \log_a u y' = \frac{u'}{u \cdot \ln a}
7 y = \ln u y' = \frac{1}{u} \cdot u'
8 y = u^v y' = v \cdot u^{v-1} \cdot u' + u^v \cdot (\ln u) \cdot v'
9 y = \sin u y' = u' \cdot \cos u
10 y = \cos u y' = -u' \cdot \sin u
11 y = \tan u y' = u' \cdot \sec^2 u
12 y = \cot u y' = -u' \cdot \csc^2 u
13 y = \sec u y' = u' \cdot \sec u \cdot \tan u
14 y = \csc u y' = -u' \cdot \csc u \cdot \cot u
15 y = \arcsin u y' = \frac{u'}{\sqrt{1 - u^2}}
16 y = \arccos u y' = -\frac{u'}{\sqrt{1 - u^2}}
17 y = \arctan u y' = \frac{u'}{1 + u^2}
18 y = \text{arccot} u y' = -\frac{u'}{1 + u^2}
19 y = \text{arcsec} u y' = \frac{u'}{|u|\sqrt{u^2-1}}
20 y = \text{arccsc} u y' = -\frac{u'}{|u|\sqrt{u^2-1}}

Tabela de Integrais

Agora, vamos explorar as integrais, que representam a área sob a curva de uma função em relação a uma variável.
A integral de uma constante vezes x é igual à metade do coeficiente vezes x².

A integral de uma soma ou diferença de funções ou diferença das integrais individuais. Aqui estão algumas integrais comuns:

# Fórmula Integral
1 \int du = u + c
2 \int u^n du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + c, \quad n \neq -1
3 \int \frac{du}{u} = \ln |u| + c
4 \int a^u du = \frac{a^u}{\ln a} + c, \quad a > 0, a \neq 1
5 \int e^u du = e^u + c
6 \int \sin u du = - \cos u + c
7 \int \cos u du = \sin u + c
8 \int \tan u du = \ln |\sec u| + c
9 \int \cot u du = \ln |\sin u| + c
10 \int \sec u du = \ln |\sec u + \tan u| + c
11 \int \csc u du = \ln |\csc u - \cot u| + c
12 \int \sec u \tan u du = \sec u + c
13 \int \csc u \cot u du = -\csc u + c
14 \int \sec^2 u du = \tan u + c
15 \int \csc^2 u du = -\cot u + c
16 \int \frac{du}{u^2+a^2} = \frac{1}{a} \text{arc} \tan \frac{u}{a} + c
17 \int \frac{du}{u^2-a^2} = \frac{1}{2a} \ln \left| \frac{u-a}{u+a} \right| + c, \quad u^2 > a^2
18 \int \frac{du}{\sqrt{u^2+a^2}} = \ln \left| u + \sqrt{u^2 + a^2} \right| + c
19 \int \frac{du}{\sqrt{u^2-a^2}} = \ln \left| u + \sqrt{u^2 - a^2} \right| + c
20 \int \frac{du}{\sqrt{a^2-u^2}} = \text{arc} \sin \frac{u}{a} + c, \quad u^2 < a^2
21
21 \int \frac{du}{u \sqrt{u^2-a^2}} = \frac{1}{a} \text{arcsec} \frac{u}{a} + c

Tabela de Identidades Trigonométricas

Essas identidades trigonométricas estabelecem relações entre as funções trigonométricas e são fundamentais na simplificação de expressões trigonométricas complexas.

# Fórmula
1 \sin^2 x + \cos^2 x = 1
2 1 + \tan^2 x = \sec^2 x
3 1 + \cot^2 x = \csc^2 x
4 \sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}
5 \cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}
6 \sin 2x = 2 \sin x \cos x
7 2 \sin x \cos y = \sin(x - y) + \sin(x + y)
8 2 \sin x \sin y = \cos(x - y) - \cos(x + y)
9 2 \cos x \cos y = \cos(x - y) + \cos(x + y)
10 1 \pm \sin x = 1 \pm \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right)

Fórmulas de Recorrência

# Fórmula
1 \int \sin^n(au) \, du = -\frac{\sin^{n-1}(au) \cos(au)}{an} + \frac{n-1}{n} \int \sin^{n-2}(au) \, du
2 \int \cos^n(au) \, du = \frac{\sin(au) \cos^{n-1}(au)}{an} + \frac{n-1}{n} \int \cos^{n-2}(au) \, du
3 \int \tan(au) \, du = \frac{\tan^{n-1}(au)}{a(n-1)} - \int \tan^{n-2}(au) \, du
4 \int \cot(au) \, du = -\frac{\cot^{n-1}(au)}{a(n-1)} - \int \cot^{n-2}(au) \, du
5 \int \sec^n(au) \, du = \frac{\sec^{n-2}(au) \tan(au)}{a(n-1)} + \frac{n-2}{n-1} \int \sec^{n-2}(au) \, du
6 \int \csc^n(au) \, du = -\frac{\csc^{n-2}(au) \cot(au)}{a(n-1)} + \frac{n-2}{n-1} \int \csc^{n-2}(au) \, du

Em resumo, explorar a Tabela de Derivadas, Integrais e Identidades Trigonométricas é uma jornada fundamental na compreensão da matemática aplicada.

 

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